simpangan

Simpangan Rata-Rata, Ragam,
dan Simpangan Baku
a. Simpangan Rata-Rata
Sekumpulan data kuantitatif yang tidak dikelompokkan
dinyatakan oleh x1, x2, …, xn. Dari data tersebut dapat
ditentukan simpangan rata-rata (S R ) dengan menggunakan
rumus:
S =
n
x
x R i i=
1 n
1 ��

contoh :


Hitung simpangan rata-rata dari data kuantitatif berikut:
12, 3, 11, 3, 4, 7, 5, 11
Jawab:
x
n
�� �� x ��
n x �� �� ��
1 1 8
(12 + 3 + 11 + 3 + 4 + 7 + 5 + 11) = 7
S R ��
12��7 �� 3��7 �� 11��7 �� 3��7 �� 4��7 �� 7��7 �� 5��7 �� 11��7
8
��
�� �� �� �� �� �� ��
��
5 4443 02 4
8
3, 25
Jadi, simpangan rata-ratanya adalah 3,25.


Contoh 1.19
Hitunglah simpangan rata-rata nilai ulangan Fisika dari siswa Kelas
XI SMA Merdeka seperti Tabel 1.11 Contoh 1.11.
Jawab:
Dari Contoh 1.15, diperoleh x = 65,7 (dibulatkan).
Carl Friedrich Gauss
(1777–1855)
Seorang ahli matematika
Jerman, Carl Friedrich Gauss,
mempelajari penyebaran
dari berbagai macam data. Ia
mene mukan istilah “Standar
deviasi” untuk menjelaskan
penye baran yang terjadi.
Para ilmuwan sekarang,
menggu na kan standar deviasi
untuk mengestimasi akurasi
pengukuran data.
Sumber: Ensiklopedi Matematika, 2002
Tokoh
Matematika
Statistika 31
Kelas
Interval
Nilai
Tengah
(xi)
f i x x i f i x x i
40 – 44 42 3 23,7 71,1
45 – 49 47 4 18,7 74,8
50 – 54 52 6 13,7 82,2
55 – 59 57 8 8,7 69,6
60 – 64 62 10 3,7 37
65 – 69 67 11 1,3 14,3
70 – 74 72 15 6,3 94,5
75 – 79 77 6 11,3 67,8
80 – 84 82 4 16,3 65,2
85 – 89 87 2 21,3 42,6
90 – 94 92 2 26,3 52,6
f i �� �� 71 f i x x i �� �� 671, 7
Jadi, simpangan rata-rata (S R ) = 671 7
71
, = 9,46.


b. Simpangan Baku
Diketahui sekumpulan data kuantitatif yang tidak dikelompokkan
dan dinyatakan oleh x1, x2, …, xn. Dari data
tersebut, dapat diperoleh nilai simpangan baku (S) yang
ditentukan oleh rumus berikut.
S =
n
i=
n
��x x�� i
��
�� 2
1
1
�� ��
�� ������
�� ��
n
i
n
2
1
untuk sampel untuk populasi
contoh :

Dari 40 orang siswa diambil sampel 9 orang untuk diukur tinggi
badannya, diperoleh data berikut:
165, 170, 169, 168, 156, 160, 175, 162, 169.
Hitunglah simpangan baku sampel dari data tersebut.
Jawab:
x = 166
S
n
i
n
��
��x x�� i
�� ��
2

��
�� �� �� �� �� �� ��
��
1169 100 36 81 16 9
9��1
272
8
�� 5,83
Jadi, simpangan bakunya adalah 5,83.


Sekumpulan data kuantitatif yang dikelompokkan,
dapat dinyatakan oleh x1, x2, …, xn dan masing-masing data
mempunyai frekuensi f 1 , f 2 , …, f n . Simpangan baku (S) dari
data tersebut diperoleh dengan menggunakan rumus
untuk sampel untuk populasi
dan
S =
f
n
i 2
i=
n
��x x�� i ��
��
��1
1
�� =
f
n
i 2
i=1
n
��x ���� i ��

contoh :

Hitunglah simpangan baku dari nilai ulangan Fisika dari 71 siswa
kelas XI SMA Merdeka sesuai Tabel 1.11.
Jawab:
Dari hasil perhitungan sebelumnya diperoleh �� = 65,7.
xi f i xi ���� ��x �� i �� 2 f i ��x �� i �� �� 2
42 3 –23,7 561,69 1.685,07
47 4 –18,7 349,69 1.398,76
52 6 –13,7 187,69 1.126,14
57 8 – 8,7 75,69 605,52
62 10 –3,7 13,69 136,9
67 11 1,3 1,69 18,59
72 15 6,3 39,69 595,35
77 6 11,3 127,69 766,14
82 4 16,3 265,69 1.062,76
87 2 21,3 453,69 907,38
92 2 26,3 691,69 1.383,38
f i ���� 60 f i ����x �� i �� �� 2 9.685,99
Jadi, simpangan bakunya ���� ��
9 685 99
71
11 68
.685,
, .


c. Variansi (Ragam)
Untuk data yang tidak dikelompokkan ataupun data
yang dikelompokkan, diperoleh nilai variansi (v) dengan
menggunakan rumus:
untuk sampel untuk populasi
v = S2 dan v = 􀁓2
Hitunglah variansi dari data Contoh 1.26.
Jawab:
Dari hasil perhitungan Contoh 1.23 diperoleh S = 5,83 maka
v = S2 = (5,83)2 = 33,99.
Contoh 1.22
d. Koefisien Keragaman (KK)
Rumus koefisien keragaman (KK) dari sekumpulan data
x1, x2, x3, ..., xn adalah
KK S
x
􀀝 􀁲100
Dalam hal ini S = simpangan baku
x = rataan
Pak Murtono seorang pengusaha. Bidang usaha yang ia jalani
adalah penerbitan, tekstil, dan angkutan. Dalam 5 bulan terakhir,
ia mencatat keuntungan bersih ketiga bidang usahanya. Hasilnya
tampak pada Tabel 1.14.
Bidang Usaha
Penerbitan
Tekstil
Angkutan
60 116 100 132 72
144 132 108 192 204
80 260 280 72 116
Keuntungan Bersih (dalam puluhan juta rupiah)
Tabel 1.14 Keuntungan Bersih Usaha Pak Murtono Selama 5 Bulan Terakhir.
Jika Pak Murtono berpendapat bahwa bidang usaha yang akan
dipertahankan hanya dua bidang usaha dengan kriteria bidang
usaha dengan keuntungan bersih yang stabil, tentukanlah bidang
usaha yang sebaiknya tidak dilanjutkan.
Jawab:
Langkah ke-1
Menuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan soal
tersebut.
Diketahui : • keuntungan bersih selama 5 bulan terakhir yang
disajikan pada Tabel 1.14.

• bidang usaha yang dipertahankan adalah yang
memiliki keuntungan bersih yang stabil.
Ditanyakan: bidang usaha yang sebaiknya tidak dilanjutkan.
Langkah ke-2
Menentukan konsep yang akan digunakan dalammenyelesaikan soal.
Pada soal ini, konsep yang digunakan adalah rataan, simpangan baku,
dan koefisien keragaman.
Langkah ke-3
Menghitung rataan, simpangan baku, dan koefisien keragaman
dari setiap bidang usaha.
􀂜 Bidang usaha penerbitan
x
x
n
􀀝 􀀝
􀀋 􀀋 􀀋 􀀋
􀀝 􀂣 60 116 100 132 72
5
96
S
n
􀀝
􀀈x x􀀉 i
􀀍
􀂣 2
1
􀀝
􀀈 􀀍 􀀉 􀀋􀀈 􀀍 􀀉 􀀋􀀈 􀀍 􀀉 􀀋􀀈 􀀍 􀀉
􀀋 2 2 2 2 5 1
2 􀀈72􀀍96􀀉
􀀝 􀀝
3584
4
29, 93
KK S
x
􀀝 􀀝 􀀝
29 93
96
0 31
,
,
􀂜 Bidang usaha tekstil
x 􀀝156
S = 40,69
KK S
x
􀀝 􀀝 􀀝
40 69
156
0 26
,
,
􀂜 Bidang usaha angkutan
x 􀀝161,6
S = 100.58
KK S
x
􀀝 􀀝 􀀝
100 58
161 6
0 62
,
,
,
Jadi, sebaiknya Pak Murtono tidak melanjutkan usaha angkutan
karena keuntungannya tidak stabil (nilai KK paling besar).

Read more...

Modus, Median, Kuartil, dan Desil

a. Modus (Mo)
Seorang guru ingin mengetahui nilai manakah yang
paling banyak diperoleh siswanya dari data hasil ulangan
matematika. Tentunya, ia akan menentukan datum yang paling
sering muncul. Misalnya, data hasil ulangan 10 orang siswa
sebagai berikut
7 4 6 5 7 8 5,5 7 6 7
Data yang paling sering muncul disebut modus. Modus
dari data itu adalah 7 sebab nilai yang paling sering muncul
adalah 7. Modus mungkin tidak ada atau jika ada modus
tidak tunggal (lihat Contoh 1.16).
Jika data yang diperoleh berukuran besar, data perlu
dikelompokkan agar penentuan modus mudah dilakukan.
Modus dari data yang dikelompokkan dapat dicari dengan
menggunakan rumus berikut.
Mo =L i d
d +d
+ 1 1 2 􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
Statistika 25
dengan L = batas bawah nyata (tepi bawah) dari kelas
modus
d1 = selisih antara frekuensi dari kelas yang
mengandung modus dan frekuensi dari kelas
yang mendahuluinya (sebelumnya).
d 2 = selisih antara frekuensi dari kelas yang
mengandung modus dan frekuensi dari kelas
berikutnya
i = interval kelas/panjang kelas.
Telah Anda ketahui modus adalah datum yang paling
sering muncul. Prinsip ini digunakan untuk menentukan kelas
modus pada data yang dikelompokkan. Kelas modus adalah
kelas yang frekuensinya paling banyak.
1. Tentukan modus dari data berikut ini.
a. 45, 50, 50, 64, 69, 70, 70, 70, 75, 80
b. 50, 65, 65, 66, 68, 73, 73, 90
c. 35, 42, 48, 50, 52, 55, 60
2. Tabel 1.2 menunjukkan hasil ulangan matematika dari 71
siswa Kelas XI SMA Bhinneka. Tentukan modus dari data
ter sebut.
Jawab:
1. a. Oleh karena nilai 70 muncul paling banyak (yaitu tiga
kali muncul), modusnya adalah 70.
b. Oleh karena nilai 65 dan 73 muncul paling banyak (yaitu
dua kali muncul), modusnya adalah 65 dan 73 (tidak
tunggal).
c. Data 35, 42, 48, 50, 52, 55, 60 tidak mempunyai modus
(mengapa?).
2. Oleh karena kelas ke-7 mempunyai frekuensi terbesar
(frekuensinya 15) maka kelas ke-7 merupakan kelas modus.
i = 44,5 – 39,5 = 5
L = Batas bawah nyata kelas ke-7 = 69,5 (tepi bawah kelas)
d1 = 15 – 11 = 4
d2 = 15 – 6 = 9
Jadi, Mo L i d
d d
􀀝 􀀋
􀀋
􀂤
􀂦 􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵 􀂵 􀂵 􀂵 1 1 2
= 69,5 + (5)
4
4􀀋9
􀂤
􀂦 􀂥 􀂥 􀂥
􀂴
􀂶 􀂵 􀂵 􀂵
= 69,5 + 1,54 = 71,04
Cobalah tentukan nilai modus tersebut dengan menggunakan
kalkulator. Apakah hasilnya sama?


b. Median dan Kuartil
Dari data kuantitatif yang tidak dikelompokkan dan
dinyatakan oleh x1, x2, …, xn, (dengan x1 < x2 < … < xn)
untuk n yang berukuran besar (yang dimaksud n berukuran
besar yaitu n ≥ 30) maka nilai ketiga kuartil, yaitu Q1 (kuartil
bawah),Q2 (median), danQ3 (kuartil atas) ditentukan dengan
rumus berikut.
• Q = x
1 1 4
􀀈n+1􀀉 • Q = x
3 3 4
􀀈n+1􀀉 • Q = x
2 1 2
􀀈n+1􀀉
Tentukan median, kuartil bawah, dan kuartil atas dari data
berikut.
67 86 77 92 75 70
63 79 89 72 83 74
75 103 81 95 72 63
66 78 88 87 85 67
72 96 78 93 82 71
Jawab:
Urutkan data dari kecil ke besar hasilnya sebagai berikut.
No. Urut Data (xi) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nilai Data 63 63 66 67 67 70 71 72 72 72
No. Urut Data (xi) 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Nilai Data 74 75 75 77 78 78 79 81 82 83
No. Urut Data (xi) 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Nilai Data 85 86 87 88 89 92 93 95 96 103
• Kuartil bawah (Q1) = x x x
n 1
4
1
1
4
30 1 7
3
4
􀀈 􀀋 􀀉 􀀈 􀀋 􀀉
􀀝 􀀝 = x x x 7 8 7
3
4
􀀋 􀀈 􀀍 􀀉
= 71
3
4
72 71 71
3
4
􀀋 􀀈 􀀍 􀀉􀀝
• Median (Q2) = x x x x x x
n 1
2
1
1
2
30 1 15
1
2
15 24 15
1
􀀈 􀀋 􀀉 􀀈 􀀋 􀀉 2
􀀝 􀀝 􀀝 􀀋 􀀈 􀀍 􀀉
= 78
1
2
􀀋 􀀈78􀀍78􀀉􀀝 78
• Kuartil atas (Q3) =x x x x x x
n 3
4
1
3
4
30 1 23
1
4
23 24 23
1
􀀈 􀀋 􀀉 􀀈 􀀋 􀀉 4
􀀝 􀀝 􀀝 􀀋 􀀈 􀀍 􀀉
= 87
1
4
88 87 87
1
4


Untuk data yang dikelompokkan, nilai median (Me) dan
kuartil (Q) ditentukan dengan rumus sebagai berikut.
• Q L
i
n F
f
1 1 1 1 1
􀀋 4 􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
• Q L
i
n F
f
2 2 2 2 1
􀀋 2 􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
• Q L
i
n F
f
3 3 3 3 3
􀀋 4 􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
dengan: Li = batas bawah nyata dari kelas Qi
Fi = jumlah frekuensi kelas-kelas sebelum kelas
kuartil ke-i
f i = frekuensi kelas kuartil ke-i
n = banyak data
i = panjang kelas/interval kelas
1. Q2= median
2. i pada F i dan f i
adalah sebagai indeks.
i yang berdiri sendiri
adalah sebagai panjang
kelas.
Ingatlah
Tentukan median, kuartil bawah, dan kuartil atas dari data pada
Tabel.1.12.
Jawab:
Q1 =x x x 1
4
1
4
18 􀀈n􀀋1􀀉 􀀈71􀀋1􀀉
􀀝 .
Jadi, kelas Q1 ada di kelas ke-4 (kelas 55 – 59)
Q2 = x x x 1
2
1
2
36 􀀈n􀀋1􀀉 􀀈71􀀋1􀀉
􀀝 .
Jadi, kelas Q2 ada di kelas ke-6 (kelas 65 – 69)
Contoh 1.15
40 – 44 2 2
45 – 49 2 4
50 – 54 6 10
55 – 59 8 18
60 – 64 10 28
65 – 69 11 39
70 – 74 15 54
75 – 79 6 60
80 – 84 4 64
85 – 89 4 68
90 – 94 3 71


Q3 =x x x 3
4
3
4
􀀈n 􀀉 54 􀀋1 􀀈71􀀋1􀀉
􀀝 .
Jadi, kelas Q3 ada di kelas ke-7 (kelas 70 – 74)
Dengan demikian, Q1, Q2, Q3 dapat ditentukan sebagai berikut.
Q L
i
n F
f
1 1 1 1 1
􀀋 4 54 5 􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
􀀝 , 􀀋
􀀈 􀀉􀀍􀀈 􀀋 􀀋
􀀉
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
5
1
4
8
= 54 5
5
8
, 59 34
􀀋 􀀈7, 75􀀉 ,
Q L
i
n F
f
2 2 2 2 1
􀀋 2 64 5 􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
􀀝 , 􀀋
􀀈 􀀉􀀍􀀈 􀀉 􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
5
1
2
11
= 64 5
7 5
11
,
,
􀀋 􀀈5􀀉= 64,5 + 3,4 = 67,9
Q L
i
n F
f
3 3 3 3 3
􀀋 4 69 5 􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
􀀝 , 􀀋
􀀈 􀀉􀀍􀀈 􀀉 􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
5
3
4
15
= 69 5
14 25
15
,
,
􀀋 􀀈5􀀉= 69,5 + 4,75 = 74,25
c. Desil
Untuk data sebanyak n dengan n ≥ 10, Anda dapat
membagi data tersebut menjadi 10 kelompok yang memuat
data sama banyak. Ukuran statistik yang membagi data
(setelah diurutkan dari terkecil) menjadi 10 kelompok sama
banyak disebut desil. Sebelum data dibagi oleh desil, data
harus diurutkan dari yang terkecil.
Oleh karena data dibagi menjadi 10 kelompok sama
banyak maka didapat 9 desil. Amati pembagian berikut.
xmin D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 xmak
Terdapat 9 buah desil, yaitu desil pertama(D1), desil
kedua (D2), ..., desil kesembilan (D9).
Letak desil ditentukan dengan rumus berikut.
Letak ( D i) = data ke- i
10
􀀈n + 1􀀉 atau Di =
xi
10
􀀈n+1􀀉
Dalam hal ini i = 1, 2, 3, ..., 9 dan n = banyak data.


Tentukan desil ke-1 dan desil ke-5 dari data berikut.
47, 33, 41, 37, 46, 43, 39, 36, 35, 42, 40, 39, 45
Jawab:
Data setelah diurutkan menjadi 33, 35, 36, 37, 39, 39, 40, 41, 42,
43, 45, 46, 47.
Banyak data adalah n = 13.
D1 = data ke-
1 13 1
10
􀀈 􀀋 􀀉
= data ke–1, 4
= x1 + 0,4(x2 – x1)
= 33 + 0,4 (35–33)
= 33 + 0,8 = 33,8.
D5 = data ke-
5 13 1
10
􀀈 􀀋 􀀉
= data ke–7
= x7 = 40.
Jadi, desil ke -1 adalah 33,8 dan desil ke-5 adalah 40.


Untuk data yang disusun dalam daftar distribusi
frekuensi, nilai desil ditentukan sebagai berikut.
Di = ( t b )Di +
i n
10
F
f
p
1 1 􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
Dalam hal ini i = 1, 2, 3, ..., 9
(t b )Di = tepi bawah kelas Di
Fi = frekuensi kumulatif sebelum kelas Di
f i = frekuensi kelas Di
p = panjang kelas
Tentukan nilai desil ketiga dari data pada Tabel 1.13.
Jawab:
Diketahui i = 3 maka i􀁲n
􀀝
􀁲
􀀝
10
3 40
10
12.
Desil ketiga (D3) terletak di kelas: 51–60 (karena kelas 51–60
memuat data ke-9, 10, 11, 12, 13).
D3 = 50,5 +
12 8
5
􀀍
.10 = 50,5 + 8 = 58, 5.
Contoh 1.17
Nilai f i Frekuensi
Kumulatif
31–40
41–50
51–60
61–70
71–80
81–90
91–100
5
3
5
6
9
8
4
5
8
13
19
28
36
40

Read more...

MEAN

Penyajian Data Ukuran menjadi
Data Statistik Deskriptif
1. Rataan Hitung (Mean)
Masih ingatkah Anda cara menghitung rataan hitung?
Misalnya, seorang guru mencatat hasil ulangan 10 orang
siswanya, sebagai berikut.
6 5 5 7 7,5 8 6,5 5,5 6 9
Dari data tersebut, ia dapat menentukan nilai rataan
hitung, yaitu
6 5 5 7 75 8 65 55 6 9
10
6 55
������ �� 7 5 6 5�� ����
��
, ����6, ,
,
Jadi, nilai rataan hitungnya adalah 6,55.
Statistika 21
Secara umum, apabila nilai data kuantitatif tidak dikelompokkan
dan dinyatakan oleh x1, x2, …, xn (terdapat n
buah datum), nilai rataan hitung (mean) x ditentukan oleh
rumus berikut.
x x x
n
�� 1 2 n ��x ��... �� atau x x
n
i
i
n
���� =1
Perhitungan nilai rataan hitung akan menjadi lain jika
guru tersebut mencatat hasil ulangan 40 orang siswanya
sebagai berikut:
3 orang mendapat nilai 4
4 orang mendapat nilai 5
6 orang mendapat nilai 5,5
8 orang mendapat nilai 6
7 orang mendapat nilai 7
10 orang mendapat nilai 8
2 orang mendapat nilai 9
Nilai rataan hitung siswa dapat dicari sebagai berikut:
3 4 6 8 7 10 2
40
��4���� ��5���� ��5 5���� ��6���� ��7���� ��8���� ��9�� 260
��
40
�� 6, 5
Jadi, nilai rataan hitungnya adalah 6,5.
Secara umum, apabila nilai-nilai data kuantitatif
dinyatakan dengan x1, x2, …, xn (terdapat n buah datum)
dengan setiap nilai datum mempunyai frekuensi f 1 , f 2 , …, f
n maka rataan hitung ( x ) ditentukan oleh rumus berikut.
x x f + x f
+...+ x f
f + f + f
+...f
n n n = 1 1 2 2 1 2 3 atau x
x f
f
i i i=
n
i i=
n = 1
1
��
��

contoh :

Seorang peneliti mencatat banyak bayi yang lahir selama setahun
di 20 kecamatan. Hasil pencatatannya disajikan berikut.
136 140 220193 130 158 242 127 184 213
200 131 111 160 217 281 242 242 281 192
a. Hitunglah rataan hitung (mean) data tersebut.
b. Tentukan jangkauan datanya.
c. Tentukanlah jangkauan antarkuartil.
2. Nilai rataan hitung (rata-rata) ujian matematika dari 38 orang
siswa adalah 51. Jika nilai dari seorang siswa lain yang bernama
Rahman digabungkan dengan kelompok itu maka nilai rataan
hitung ujian matematika dari 39 orang siswa sekarang menjadi
52. Tentukanlah nilai yang diperoleh Rahman.
Contoh 1.11
22 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Sumber: www.upload.wikimedia.org
Gambar 1.8
Untuk data yang banyak, Anda
dapat menggunakan kalkulator
ilmiah untuk menghitung mean
data.
Jawab:
1. a. Untuk menyelesaikan soal ini, dapat digunakan dua
cara, yaitu tanpa menggunakan kalkulator dan dengan
menggunakan kalkulator.
• Tanpa kalkulator (dengan rumus):
x ��
�� �� ��
�� ��
136 140 192
20
3 800
20
190
... .
.
• Dengan kalkulator (fx–3600Pv), tahapan perhitungan
sebagai berikut:
1) kalkulator "ON"
2) MODE 3 x program SD
3) masukkan data
136 data
140 data
…
…
…
192 data
4) tekan tombol x
x = 190
Untuk kalkulator jenis lainnya, coba Anda cari informasi
cara menghitung mean dengan kalkulator tersebut.
b. Jangkauan datanya adalah: J = xn – x1 = 281 – 111 = 170.
c. Setelah data diurutkan, diperoleh Q1 = 138 dan Q3 = 231.
Jangkauan antarkuartil adalah JK= Q3 – Q1= 93.
2. Diketahui:
Nilai rataan hitung 38 siswa adalah 51. Nilai rataan hitung 39
siswa adalah 52.
Ditanyakan:
Nilai ujian matematika yang diperoleh Rahman.
Pengerjaan:
Misalkan,
x i = nilai ujianmatematika dari siswa ke-i dengan i = 1, 2, ..., 38
x39 = nilai ujian matematika yang diperoleh Rahman
Dengan menggunakan rumus rataan hitung, berlaku:
x x 1 2 38
38
51
�� x �� ��
��
...
.... (1)
x x 1 2 39
39
52
�� x �� ��
��
... .... (2)
Substitusikan persamaan (1) ke persamaan (2) diperoleh
51
39
39 52 ��38����
��
x �� x39 = 52(39) – 51(38) = 90
Jadi, nilai ujian matematika yang diperoleh Rahman adalah 90.


Menghitung Rataan Hitung dengan
Menggunakan Rataan Hitung Sementara
Selain menggunakan rumus di Subbab C.1, rataan hitung
dapat pula ditentukan dengan menggunakan rataan hitung
sementara (xs). Untuk kumpulan data berukuran besar,
biasanya rataan hitung ditentukan dengan menggunakan
rataan hitung sementara sebab apabila dihitung dengan rumus
di Subbab C.1, perhitungannya akan rumit.
Langkah pertama dalam menentukan rataan hitung
dengan menggunakan rataan hitung sementara adalah menentukan
rataan sementara dari nilai tengah salah satu kelas
interval. Kemudian, semua nilai tengah pada setiap kelas
interval dikurangi rataan hitung sementara tersebut.
Setiap hasil pengurangan tersebut disebut simpangan
terhadap rataan hitung sementara itu (di). Adapun rumus untuk
mencari rataan hitung sementara adalah sebagai berikut.
x = x
f d
s f
i i i + 􀂣
􀂣
Dalam hal ini f i = frekuensi kelas ke-i
xs = rataan hitung sementara
di = simpangan dari titik tengah kelas ke-i
dengan rataan hitung sementara.
Contoh 1.12
Tabel 1.11 menunjukkan hasil ulangan Fisika dari 71 siswa Kelas
XI SMA Merdeka. Tentukanlah rataan hitung dengan menggunakan
rataan hitung sementara.
Jawab:
Lengkapilah Tabel 1.11 dengan langkah-langkah sebagai
berikut.
1. Tentukan nilai tengah dari setiap kelas seperti berikut.
batas bawah kelas + batas atas kelas
2
2. Pilih nilai tengah dari suatu kelas sebagai rataan sementara.
Misalnya, kita pilih rataan sementara adalah nilai tengah ke-6.
Jadi, xs 􀀝
􀀋
􀀝
65 69
2
67 .
3. Untuk setiap kelas, tentukan simpangan nilai tengahnya
terhadap xs , yaitu di = xi – xs .
Interval Kelas Frekuensi
40 – 44
45 – 49
50 – 54
55 – 59
60 – 64
65 – 69
70 – 74
75 – 79
80 – 84
85 – 89
90 – 94
3
4
6
8
10
11
15
6
4
2
2


Hasilnya tampak pada tabel berikut.
Kelas
Interval f i Nilai
Tengah (xi) di f i di
40–44 3 42 –25 –75
45–49 4 47 –20 –80
50–54 6 52 –15 –90
55–59 8 57 –10 –80
60–64 10 62 –5 –50
65–69 11 67 0 0
70–74 15 72 5 75
75–79 6 77 10 60
80–84 4 82 15 60
85–89 2 87 20 40
90–94 2 92 25 50
Σf = 71 Σ f i di = –90
4. Tentukan hasil kali f i di dan f d i i 􀂣 .
5. Hitung x dengan rumus x x
f d
s f
i i i 􀂣
􀂣
x
f d
s f
i i i 􀀝 x 􀀋 􀀝 􀀋
􀀍
􀀝 􀂣
􀂣 67
90
71
65, 73

Read more...

Penyajian Data Statistik

Penyajian Data Statistik
Ada dua cara penyajian data yang sering dilakukan, yaitu
a) daftar atau tabel,
b) grafik atau diagram.
1. Penyajian Data dalam Bentuk Tabel
Misalkan, hasil ulangan Bahasa Indonesia 37 siswa kelas
XI SMA 3 disajikan dalam tabel di samping.
Penyajian data pada Tabel 1.1 dinamakan penyajian data
sederhana. Dari tabel 1.1, Anda dapat menentukan banyak
siswa yang mendapat nilai 9, yaitu sebanyak 7 orang. Berapa
orang siswa yang mendapat nilai 5? Nilai berapakah yang
paling banyak diperoleh siswa?
Jika data hasil ulangan bahasa Indonesia itu disajikan
dengan cara mengelompokkan data nilai siswa, diperoleh
tabel frekuensi berkelompok seperti pada Tabel 1.2. Tabel
1.2 dinamakan Tabel Distribusi Frekuensi.
2. Penyajian Data dalam Bentuk
Diagram
Kerapkali data yang disajikan dalam bentuk tabel sulit
untuk dipahami. Lain halnya jika data tersebut disajikan dalam
bentuk diagram maka Anda akan dapat lebih cepat memahami
data itu. Diagram adalah gambar yang menyajikan data secara
visual yang biasanya berasal dari tabel yang telah dibuat.
Meskipun demikian, diagram masih memiliki kelemahan,
yaitu pada umumnya diagram tidak dapat memberikan
gambaran yang lebih detail.
a. Diagram Batang
Diagram batang biasanya digunakan untuk menggambarkan
data diskrit (data cacahan). Diagram batang adalah
bentuk penyajian data statistik dalam bentuk batang yang
dicatat dalam interval tertentu pada bidang cartesius.
Ada dua jenis diagram batang, yaitu
1) diagram batang vertikal, dan
2) diagram batang horizontal.
contoh :

Selama 1 tahun, toko "Anggo" mencatat keuntungan setiap bulan
sebagai berikut.
Keuntungan Toko "Anggo" per Bulan (dalam jutaan rupiah)

a. Buatlah diagram batang vertikal dari data tersebut.
b. Berapakah keuntungan terbesar yang diperoleh Toko "Anggo"
selama 1 tahun?
c. Kapan Toko "Anggo" memperoleh keuntungan yang sama
selama dua bulan berturut-turut?
Jawab:
a. Diagram batang vertikal dari data tersebut, tampak pada
gambar berikut.
b. Dari diagram tersebut tampak bahwa keuntungan terbesar
yang diperoleh Toko "Anggo" selama 1 tahun adalah sebesar
Rp6.200.000,00.
c. Toko "Anggo" memperoleh keuntungan yang sama selama
dua bulan beturut-turut pada bulan ke-11 dan ke-12.
Tabel 1.3
1
1 2 3 4 5 6
Bulan ke

Read more...

Soal-Soal Statistika part II

1.      Rudi telah mengikuti 6 kali ulangan BI dengan rata – rata 59.Ibu Herlina memberikan satu kali ulangan lagi.Agar nilai rata – rata Rudi naik 3 poin,berapa nilai yang harus diperoleh Rudi pada ulangan tersebut.

2.      Rata – rata nilai 5 kali ulangan Matematika Toni memperoleh 66,2.Sedang 3 kali ulangan memiliki rata – rata 65.Tentukan rata –rata nilai ulangan Matematika yang lain.

3.      Berat rata- rata 4 pemain Voli adalah 42 kg.Setelah 2 pemain masuk lagi,maka berat rata – ratanya naik 1kg.Tentukan berat rata – rata 2 pemain tersebut.

4.      Dari nilai IPAnya Budi, 2 kali ulangan Kimia rata – ratanya 60, 3 kali ulangan Fisika rata – ratanya 58, sedangkan Biologi 1 kali ulangan ,ternyata ulangan IPAnya rata – ratanya 60.Tentukan nilai ulangan Biologinya.

5.      Tiga data memiliki mean = 27, median = 28,dan jangkauan = 15.Tentukan data – data tersebut.

6.      Lima data memiliki K₁ = 7, K₂ = 13, K₃ = 21, jangkauan = 20.Jumlah data terbesar dan terkecil = 30.Tentukan data – data tersebut.

7.      Pada suatu ulangan,rata – rata kelasnya adalah 81.Jika nilai rata – rata siswa laki – laki adalah 79 dan rata – rata nilai siswa perempuan adalah 86.Tentukan perbandingan banyaknya siswa laki – laki dan perampuan.

8.      Tes diberikan pada tiga kelas yang berjumlah 100 orang. Nilai rata – rata kelas pertama,kedua, dan ketiga adalah 7; 8; 7,5. Jika banyak siswa kelas pertama 25 orang, dan kelas ketiga 5 orang lebih banyak dari kelas kedua. Tentukan nilai rata – rata seluruh kelas.

9.      Bilangan 6, 8, x, 7, 8, y dan 9 memiliki rata –rata 8. Tentukan nilai rata –rata  x dan y.

Read more...

Soal-Soal Statistika

1.      Mean dari data 7,9,12,8,10,15,18,14,16,x, adalah 12.Tentukan median dan jangkauan interkuartilnya.

2.      Nilai rata – rata ulangan dari 20 siswa adalah 6.Jika ditambah nilai sejumlah anak yang memiliki nilai rata – rata 7,maka nilai rata – rata menjadi 6,2.Tentukan banyaknya anak yang ditambahkan tersebut.

3.      Data nilai ulangan sekelompok siswa adalah 5,7,6,4,8,5,6,4,6,9,8,6,7,5,4,6,4,7,8,5. Tentukan banyak siswa yang memperoleh nilai di atas rata – rata.

4.      Jika syarat kelulusan siswa adalah nilai rata – rata dikurang 1,tentukan banyaknya siswa yang lulus.

NILAI	3	4	5	6	7	8	9
FREKUENSI	4	5	8	10	6	4	3

6.   Nilai rata – rata dari 40 siswa adalah 6,5.Jika digabung dengan 5 anakyang mempunyai nilai rata – rata 8.Tentukan nilai rata – rata mereka sekarang.

7.      Nilai rata – rata dari 25 anak adalah 6,4.Jika ditambah dengan nilai dari sekelompok anak yang mempunyai nilai rata – rata 7,maka nilai rata – rata menjadi 6,5.Tentukan banyak tambahan nak tersebut.

8.      Nilai rata – rata siswa pria adalah 7,sedangkan nilai rata – rata siswa wanita adalah 6.Jika  rata – rata kelas adalah 6,4 .Tentukan ;
a. Perbandingan banyaknya siswa pria dan wanita
b. Jika banyaknya seluruh siswa adalah 40 anak,tentukan banyaknya siswa pria dan putri.

9.      Tinggi badan rata – rata dari sekelompok anak adalah 160 cm.Dalam kelompok tersebut bertambah 5 anak lagi yang memiliki tinggi rata – rata 165 cm,sehingga tinggi rata – rata mereka naik 1 cm.Tentukan banyaknya siswa mula – mula.

10.  Rata – rata berat dari tiga anak adalah 52 kg.kemudian datang Dado dan ikut ditimbang,sehingga rata – rata mereka naik 3 kg.Tentukan berat Dado.

Read more...

STATISTIKA

STATISTIKA

Statistika adalah kumpulan informasi atau keterangan berupa angka-angka yang disusun, ditabulasi dan dikelompokkan sehingga dapat memberikan informasi yang berarti perihal suatu masalah.

Ilmu statistika adalah ilmu yang mempelajari tentang cara mengumpulkan, menabulasi, mengelompokkan , menganalisa dan mencari keterangan yang berarti perihal informasi berupa angka-angka.

Contoh :

Seorang peneliti dan akan mengadakan penelitian tentang mata pelajaran yang disenangi oleh siswa-siswi SMA N 1 Boyolali.

$          Populas                               :siswa-siswi SMAN 1 Boyolali

$          Sampel                 :beberapa siswa kelas X, XI, XII yang dianggap representative(dapat mewakili populasinya )

$          Datum                  :kelompok yang diperoleh dari hasil penelitian

$          Data                       :kumpulan dari datum-datum.

a.       Kualitatif ( bukan berupa bilangan )

b.      Kuantitatif ( berupa bilangan )

1.       PENGUMPULAN DATA

Cara-cara pengumpulan data :

a.       Interview (Tanya jawab)

Tanya jawab langsung dari sumber data/ orang-orang yang dianggap mampu memberikan data yang diperlukan.

b.      Questioner ( angket )

Teknik pengumpulan dengan memberikan pertayaan-pertanyaan yang disusun dalam suatu daftar pertanyaan digunakan bila orang yang dimintai keterangan jumlahnya cukup banyak dan tempat tinggalnya berjauhan.

c.       Observation ( pengamatan )

Teknik pengumpulan data dalam hal ini pencari data mengadakan pengamatan baik langsung atau tidak terhadap objek.

Macam :

·         Direct observation

·         Indirect observation

·         Partisipative observation

1.       MEAN

Mean  dari suatu data didefinisikan sebagai jumlah semua datum dibagi dengan banyaknya datum.

2.       MEDIAN

Median adalah suatu nilai yang membagi data yang telah diurutkan dari terkecil ke besar menjadi dua sama banyak. Berdasarkan definisi tersebut, nilai median adalah sebagai berikut :

$            Datum yang berada di tengah ( jika ukuran datanya ganjil )

$            Rataan dua nilai datum yang ada di tengah ( jika ukuran datanya genap )

 

3.       MODUS

Modus adalah data yang nilainya paling sering muncul atau datum yang frekuensinya ( kekerapan atau keseringan muncul ) paling besar.

4.       STATISTIKA LIMA SERANGKAI

a.       Statistik ekstrem terdiri atas dua macam , yaitu sebagai berikut :

$            Statistic minimum , yaitu nilai terkecil dari suatu data atau datum terkecil.

$            Statistic maksimum, yaitu nilai terbesar dari suatu data atau datum terbesar.

b.      Kuartil- Kuartil

Kuartil adalah tiga nilai yang membagi data yang sudah diurutkan menjadi empat bagian yang sama banyak. Ketiga nilai itu adalah sebagai berikut :

$            Median atau kuartil kedua (Q₂), yaitu nilai yang membagi data yang sudah diurutkan dari terkecil ke terbesar menjadi dua sama banyak.

$            Kuartil pertama atau kuartil bawah (Q₁), yaitu median dari semua data yang nilainya kurang dari kuartil kedua.

$            Kuartil ketiga atau kuartil atas ( Q₃ ), yaitu median dari semua data yang nilainya lebih dari kuuartil kedua.

5.       JANGKAUAN

Didalam statistic descriptive dikenal ukuran dispersi data atau ukuran penyebaran data. Ukuran penyebaran data yang kita pelajari tak lain adalah jangkauan data , jangkauan antar-kuartil, jangkauan semi inter-kuartil.

a.       Jangkauan Data

Jangkauan data (J) didefinisikan seebagai selisih antara nilai statistic maksimum dengan nilai statistic minimum.

b.      Jangkauan Antarkuartil

Jangkauan antarkuartil adalah selisih antara kuartil atas dan kuartil bawah.

c.       Jangkauan Semiinterkuartil

Jangkauan semiinterkuartil atau simpangan kuartil adalah setengah dari jangkauan antarkuartil.

Read more...