simpangan

Simpangan Rata-Rata, Ragam,
dan Simpangan Baku
a. Simpangan Rata-Rata
Sekumpulan data kuantitatif yang tidak dikelompokkan
dinyatakan oleh x1, x2, …, xn. Dari data tersebut dapat
ditentukan simpangan rata-rata (S R ) dengan menggunakan
rumus:
S =
n
x
x R i i=
1 n
1 ��

contoh :


Hitung simpangan rata-rata dari data kuantitatif berikut:
12, 3, 11, 3, 4, 7, 5, 11
Jawab:
x
n
�� �� x ��
n x �� �� ��
1 1 8
(12 + 3 + 11 + 3 + 4 + 7 + 5 + 11) = 7
S R ��
12��7 �� 3��7 �� 11��7 �� 3��7 �� 4��7 �� 7��7 �� 5��7 �� 11��7
8
��
�� �� �� �� �� �� ��
��
5 4443 02 4
8
3, 25
Jadi, simpangan rata-ratanya adalah 3,25.


Contoh 1.19
Hitunglah simpangan rata-rata nilai ulangan Fisika dari siswa Kelas
XI SMA Merdeka seperti Tabel 1.11 Contoh 1.11.
Jawab:
Dari Contoh 1.15, diperoleh x = 65,7 (dibulatkan).
Carl Friedrich Gauss
(1777–1855)
Seorang ahli matematika
Jerman, Carl Friedrich Gauss,
mempelajari penyebaran
dari berbagai macam data. Ia
mene mukan istilah “Standar
deviasi” untuk menjelaskan
penye baran yang terjadi.
Para ilmuwan sekarang,
menggu na kan standar deviasi
untuk mengestimasi akurasi
pengukuran data.
Sumber: Ensiklopedi Matematika, 2002
Tokoh
Matematika
Statistika 31
Kelas
Interval
Nilai
Tengah
(xi)
f i x x i f i x x i
40 – 44 42 3 23,7 71,1
45 – 49 47 4 18,7 74,8
50 – 54 52 6 13,7 82,2
55 – 59 57 8 8,7 69,6
60 – 64 62 10 3,7 37
65 – 69 67 11 1,3 14,3
70 – 74 72 15 6,3 94,5
75 – 79 77 6 11,3 67,8
80 – 84 82 4 16,3 65,2
85 – 89 87 2 21,3 42,6
90 – 94 92 2 26,3 52,6
f i �� �� 71 f i x x i �� �� 671, 7
Jadi, simpangan rata-rata (S R ) = 671 7
71
, = 9,46.


b. Simpangan Baku
Diketahui sekumpulan data kuantitatif yang tidak dikelompokkan
dan dinyatakan oleh x1, x2, …, xn. Dari data
tersebut, dapat diperoleh nilai simpangan baku (S) yang
ditentukan oleh rumus berikut.
S =
n
i=
n
��x x�� i
��
�� 2
1
1
�� ��
�� ������
�� ��
n
i
n
2
1
untuk sampel untuk populasi
contoh :

Dari 40 orang siswa diambil sampel 9 orang untuk diukur tinggi
badannya, diperoleh data berikut:
165, 170, 169, 168, 156, 160, 175, 162, 169.
Hitunglah simpangan baku sampel dari data tersebut.
Jawab:
x = 166
S
n
i
n
��
��x x�� i
�� ��
2

��
�� �� �� �� �� �� ��
��
1169 100 36 81 16 9
9��1
272
8
�� 5,83
Jadi, simpangan bakunya adalah 5,83.


Sekumpulan data kuantitatif yang dikelompokkan,
dapat dinyatakan oleh x1, x2, …, xn dan masing-masing data
mempunyai frekuensi f 1 , f 2 , …, f n . Simpangan baku (S) dari
data tersebut diperoleh dengan menggunakan rumus
untuk sampel untuk populasi
dan
S =
f
n
i 2
i=
n
��x x�� i ��
��
��1
1
�� =
f
n
i 2
i=1
n
��x ���� i ��

contoh :

Hitunglah simpangan baku dari nilai ulangan Fisika dari 71 siswa
kelas XI SMA Merdeka sesuai Tabel 1.11.
Jawab:
Dari hasil perhitungan sebelumnya diperoleh �� = 65,7.
xi f i xi ���� ��x �� i �� 2 f i ��x �� i �� �� 2
42 3 –23,7 561,69 1.685,07
47 4 –18,7 349,69 1.398,76
52 6 –13,7 187,69 1.126,14
57 8 – 8,7 75,69 605,52
62 10 –3,7 13,69 136,9
67 11 1,3 1,69 18,59
72 15 6,3 39,69 595,35
77 6 11,3 127,69 766,14
82 4 16,3 265,69 1.062,76
87 2 21,3 453,69 907,38
92 2 26,3 691,69 1.383,38
f i ���� 60 f i ����x �� i �� �� 2 9.685,99
Jadi, simpangan bakunya ���� ��
9 685 99
71
11 68
.685,
, .


c. Variansi (Ragam)
Untuk data yang tidak dikelompokkan ataupun data
yang dikelompokkan, diperoleh nilai variansi (v) dengan
menggunakan rumus:
untuk sampel untuk populasi
v = S2 dan v = 􀁓2
Hitunglah variansi dari data Contoh 1.26.
Jawab:
Dari hasil perhitungan Contoh 1.23 diperoleh S = 5,83 maka
v = S2 = (5,83)2 = 33,99.
Contoh 1.22
d. Koefisien Keragaman (KK)
Rumus koefisien keragaman (KK) dari sekumpulan data
x1, x2, x3, ..., xn adalah
KK S
x
􀀝 􀁲100
Dalam hal ini S = simpangan baku
x = rataan
Pak Murtono seorang pengusaha. Bidang usaha yang ia jalani
adalah penerbitan, tekstil, dan angkutan. Dalam 5 bulan terakhir,
ia mencatat keuntungan bersih ketiga bidang usahanya. Hasilnya
tampak pada Tabel 1.14.
Bidang Usaha
Penerbitan
Tekstil
Angkutan
60 116 100 132 72
144 132 108 192 204
80 260 280 72 116
Keuntungan Bersih (dalam puluhan juta rupiah)
Tabel 1.14 Keuntungan Bersih Usaha Pak Murtono Selama 5 Bulan Terakhir.
Jika Pak Murtono berpendapat bahwa bidang usaha yang akan
dipertahankan hanya dua bidang usaha dengan kriteria bidang
usaha dengan keuntungan bersih yang stabil, tentukanlah bidang
usaha yang sebaiknya tidak dilanjutkan.
Jawab:
Langkah ke-1
Menuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan soal
tersebut.
Diketahui : • keuntungan bersih selama 5 bulan terakhir yang
disajikan pada Tabel 1.14.

• bidang usaha yang dipertahankan adalah yang
memiliki keuntungan bersih yang stabil.
Ditanyakan: bidang usaha yang sebaiknya tidak dilanjutkan.
Langkah ke-2
Menentukan konsep yang akan digunakan dalammenyelesaikan soal.
Pada soal ini, konsep yang digunakan adalah rataan, simpangan baku,
dan koefisien keragaman.
Langkah ke-3
Menghitung rataan, simpangan baku, dan koefisien keragaman
dari setiap bidang usaha.
􀂜 Bidang usaha penerbitan
x
x
n
􀀝 􀀝
􀀋 􀀋 􀀋 􀀋
􀀝 􀂣 60 116 100 132 72
5
96
S
n
􀀝
􀀈x x􀀉 i
􀀍
􀂣 2
1
􀀝
􀀈 􀀍 􀀉 􀀋􀀈 􀀍 􀀉 􀀋􀀈 􀀍 􀀉 􀀋􀀈 􀀍 􀀉
􀀋 2 2 2 2 5 1
2 􀀈72􀀍96􀀉
􀀝 􀀝
3584
4
29, 93
KK S
x
􀀝 􀀝 􀀝
29 93
96
0 31
,
,
􀂜 Bidang usaha tekstil
x 􀀝156
S = 40,69
KK S
x
􀀝 􀀝 􀀝
40 69
156
0 26
,
,
􀂜 Bidang usaha angkutan
x 􀀝161,6
S = 100.58
KK S
x
􀀝 􀀝 􀀝
100 58
161 6
0 62
,
,
,
Jadi, sebaiknya Pak Murtono tidak melanjutkan usaha angkutan
karena keuntungannya tidak stabil (nilai KK paling besar).