Modus, Median, Kuartil, dan Desil

>> Rabu, 05 Oktober 2011

a. Modus (Mo)
Seorang guru ingin mengetahui nilai manakah yang
paling banyak diperoleh siswanya dari data hasil ulangan
matematika. Tentunya, ia akan menentukan datum yang paling
sering muncul. Misalnya, data hasil ulangan 10 orang siswa
sebagai berikut
7 4 6 5 7 8 5,5 7 6 7
Data yang paling sering muncul disebut modus. Modus
dari data itu adalah 7 sebab nilai yang paling sering muncul
adalah 7. Modus mungkin tidak ada atau jika ada modus
tidak tunggal (lihat Contoh 1.16).
Jika data yang diperoleh berukuran besar, data perlu
dikelompokkan agar penentuan modus mudah dilakukan.
Modus dari data yang dikelompokkan dapat dicari dengan
menggunakan rumus berikut.
Mo =L i d
d +d
+ 1 1 2 􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂥 􀂥
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
Statistika 25
dengan L = batas bawah nyata (tepi bawah) dari kelas
modus
d1 = selisih antara frekuensi dari kelas yang
mengandung modus dan frekuensi dari kelas
yang mendahuluinya (sebelumnya).
d 2 = selisih antara frekuensi dari kelas yang
mengandung modus dan frekuensi dari kelas
berikutnya
i = interval kelas/panjang kelas.
Telah Anda ketahui modus adalah datum yang paling
sering muncul. Prinsip ini digunakan untuk menentukan kelas
modus pada data yang dikelompokkan. Kelas modus adalah
kelas yang frekuensinya paling banyak.
1. Tentukan modus dari data berikut ini.
a. 45, 50, 50, 64, 69, 70, 70, 70, 75, 80
b. 50, 65, 65, 66, 68, 73, 73, 90
c. 35, 42, 48, 50, 52, 55, 60
2. Tabel 1.2 menunjukkan hasil ulangan matematika dari 71
siswa Kelas XI SMA Bhinneka. Tentukan modus dari data
ter sebut.
Jawab:
1. a. Oleh karena nilai 70 muncul paling banyak (yaitu tiga
kali muncul), modusnya adalah 70.
b. Oleh karena nilai 65 dan 73 muncul paling banyak (yaitu
dua kali muncul), modusnya adalah 65 dan 73 (tidak
tunggal).
c. Data 35, 42, 48, 50, 52, 55, 60 tidak mempunyai modus
(mengapa?).
2. Oleh karena kelas ke-7 mempunyai frekuensi terbesar
(frekuensinya 15) maka kelas ke-7 merupakan kelas modus.
i = 44,5 – 39,5 = 5
L = Batas bawah nyata kelas ke-7 = 69,5 (tepi bawah kelas)
d1 = 15 – 11 = 4
d2 = 15 – 6 = 9
Jadi, Mo L i d
d d
􀀝 􀀋
􀀋
􀂤
􀂦 􀂥 􀂥 􀂥
􀂥
􀂴
􀂶
􀂵 􀂵 􀂵 􀂵 1 1 2
= 69,5 + (5)
4
4􀀋9
􀂤
􀂦 􀂥 􀂥 􀂥
􀂴
􀂶 􀂵 􀂵 􀂵
= 69,5 + 1,54 = 71,04
Cobalah tentukan nilai modus tersebut dengan menggunakan
kalkulator. Apakah hasilnya sama?


b. Median dan Kuartil
Dari data kuantitatif yang tidak dikelompokkan dan
dinyatakan oleh x1, x2, …, xn, (dengan x1 < x2 < … < xn)
untuk n yang berukuran besar (yang dimaksud n berukuran
besar yaitu n ≥ 30) maka nilai ketiga kuartil, yaitu Q1 (kuartil
bawah),Q2 (median), danQ3 (kuartil atas) ditentukan dengan
rumus berikut.
• Q = x
1 1 4
􀀈n+1􀀉 • Q = x
3 3 4
􀀈n+1􀀉 • Q = x
2 1 2
􀀈n+1􀀉
Tentukan median, kuartil bawah, dan kuartil atas dari data
berikut.
67 86 77 92 75 70
63 79 89 72 83 74
75 103 81 95 72 63
66 78 88 87 85 67
72 96 78 93 82 71
Jawab:
Urutkan data dari kecil ke besar hasilnya sebagai berikut.
No. Urut Data (xi) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nilai Data 63 63 66 67 67 70 71 72 72 72
No. Urut Data (xi) 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Nilai Data 74 75 75 77 78 78 79 81 82 83
No. Urut Data (xi) 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Nilai Data 85 86 87 88 89 92 93 95 96 103
• Kuartil bawah (Q1) = x x x
n 1
4
1
1
4
30 1 7
3
4
􀀈 􀀋 􀀉 􀀈 􀀋 􀀉
􀀝 􀀝 = x x x 7 8 7
3
4
􀀋 􀀈 􀀍 􀀉
= 71
3
4
72 71 71
3
4
􀀋 􀀈 􀀍 􀀉􀀝
• Median (Q2) = x x x x x x
n 1
2
1
1
2
30 1 15
1
2
15 24 15
1
􀀈 􀀋 􀀉 􀀈 􀀋 􀀉 2
􀀝 􀀝 􀀝 􀀋 􀀈 􀀍 􀀉
= 78
1
2
􀀋 􀀈78􀀍78􀀉􀀝 78
• Kuartil atas (Q3) =x x x x x x
n 3
4
1
3
4
30 1 23
1
4
23 24 23
1
􀀈 􀀋 􀀉 􀀈 􀀋 􀀉 4
􀀝 􀀝 􀀝 􀀋 􀀈 􀀍 􀀉
= 87
1
4
88 87 87
1
4


Untuk data yang dikelompokkan, nilai median (Me) dan
kuartil (Q) ditentukan dengan rumus sebagai berikut.
• Q L
i
n F
f
1 1 1 1 1
􀀋 4 􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
• Q L
i
n F
f
2 2 2 2 1
􀀋 2 􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
• Q L
i
n F
f
3 3 3 3 3
􀀋 4 􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
dengan: Li = batas bawah nyata dari kelas Qi
Fi = jumlah frekuensi kelas-kelas sebelum kelas
kuartil ke-i
f i = frekuensi kelas kuartil ke-i
n = banyak data
i = panjang kelas/interval kelas
1. Q2= median
2. i pada F i dan f i
adalah sebagai indeks.
i yang berdiri sendiri
adalah sebagai panjang
kelas.
Ingatlah
Tentukan median, kuartil bawah, dan kuartil atas dari data pada
Tabel.1.12.
Jawab:
Q1 =x x x 1
4
1
4
18 􀀈n􀀋1􀀉 􀀈71􀀋1􀀉
􀀝 .
Jadi, kelas Q1 ada di kelas ke-4 (kelas 55 – 59)
Q2 = x x x 1
2
1
2
36 􀀈n􀀋1􀀉 􀀈71􀀋1􀀉
􀀝 .
Jadi, kelas Q2 ada di kelas ke-6 (kelas 65 – 69)
Contoh 1.15
40 – 44 2 2
45 – 49 2 4
50 – 54 6 10
55 – 59 8 18
60 – 64 10 28
65 – 69 11 39
70 – 74 15 54
75 – 79 6 60
80 – 84 4 64
85 – 89 4 68
90 – 94 3 71


Q3 =x x x 3
4
3
4
􀀈n 􀀉 54 􀀋1 􀀈71􀀋1􀀉
􀀝 .
Jadi, kelas Q3 ada di kelas ke-7 (kelas 70 – 74)
Dengan demikian, Q1, Q2, Q3 dapat ditentukan sebagai berikut.
Q L
i
n F
f
1 1 1 1 1
􀀋 4 54 5 􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
􀀝 , 􀀋
􀀈 􀀉􀀍􀀈 􀀋 􀀋
􀀉
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
5
1
4
8
= 54 5
5
8
, 59 34
􀀋 􀀈7, 75􀀉 ,
Q L
i
n F
f
2 2 2 2 1
􀀋 2 64 5 􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
􀀝 , 􀀋
􀀈 􀀉􀀍􀀈 􀀉 􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
5
1
2
11
= 64 5
7 5
11
,
,
􀀋 􀀈5􀀉= 64,5 + 3,4 = 67,9
Q L
i
n F
f
3 3 3 3 3
􀀋 4 69 5 􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
􀀝 , 􀀋
􀀈 􀀉􀀍􀀈 􀀉 􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
5
3
4
15
= 69 5
14 25
15
,
,
􀀋 􀀈5􀀉= 69,5 + 4,75 = 74,25
c. Desil
Untuk data sebanyak n dengan n ≥ 10, Anda dapat
membagi data tersebut menjadi 10 kelompok yang memuat
data sama banyak. Ukuran statistik yang membagi data
(setelah diurutkan dari terkecil) menjadi 10 kelompok sama
banyak disebut desil. Sebelum data dibagi oleh desil, data
harus diurutkan dari yang terkecil.
Oleh karena data dibagi menjadi 10 kelompok sama
banyak maka didapat 9 desil. Amati pembagian berikut.
xmin D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 xmak
Terdapat 9 buah desil, yaitu desil pertama(D1), desil
kedua (D2), ..., desil kesembilan (D9).
Letak desil ditentukan dengan rumus berikut.
Letak ( D i) = data ke- i
10
􀀈n + 1􀀉 atau Di =
xi
10
􀀈n+1􀀉
Dalam hal ini i = 1, 2, 3, ..., 9 dan n = banyak data.


Tentukan desil ke-1 dan desil ke-5 dari data berikut.
47, 33, 41, 37, 46, 43, 39, 36, 35, 42, 40, 39, 45
Jawab:
Data setelah diurutkan menjadi 33, 35, 36, 37, 39, 39, 40, 41, 42,
43, 45, 46, 47.
Banyak data adalah n = 13.
D1 = data ke-
1 13 1
10
􀀈 􀀋 􀀉
= data ke–1, 4
= x1 + 0,4(x2 – x1)
= 33 + 0,4 (35–33)
= 33 + 0,8 = 33,8.
D5 = data ke-
5 13 1
10
􀀈 􀀋 􀀉
= data ke–7
= x7 = 40.
Jadi, desil ke -1 adalah 33,8 dan desil ke-5 adalah 40.


Untuk data yang disusun dalam daftar distribusi
frekuensi, nilai desil ditentukan sebagai berikut.
Di = ( t b )Di +
i n
10
F
f
p
1 1 􀀍
􀂤
􀂦
􀂥
􀂤
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂥
􀂦
􀂴
􀂶
􀂵
􀂴
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵
􀂵 􀂶
􀂵
Dalam hal ini i = 1, 2, 3, ..., 9
(t b )Di = tepi bawah kelas Di
Fi = frekuensi kumulatif sebelum kelas Di
f i = frekuensi kelas Di
p = panjang kelas
Tentukan nilai desil ketiga dari data pada Tabel 1.13.
Jawab:
Diketahui i = 3 maka i􀁲n
􀀝
􀁲
􀀝
10
3 40
10
12.
Desil ketiga (D3) terletak di kelas: 51–60 (karena kelas 51–60
memuat data ke-9, 10, 11, 12, 13).
D3 = 50,5 +
12 8
5
􀀍
.10 = 50,5 + 8 = 58, 5.
Contoh 1.17
Nilai f i Frekuensi
Kumulatif
31–40
41–50
51–60
61–70
71–80
81–90
91–100
5
3
5
6
9
8
4
5
8
13
19
28
36
40

0 komentar:

Posting Komentar